Digg  Sphinn  del.icio.us  Facebook  Mixx  Google  BlinkList  Furl  Live  Ma.gnolia  Netvouz  NewsVine  Pownce  Propeller  Reddit  Simpy  Slashdot  Spurl  StumbleUpon  TailRank  Technorati  TwitThis  YahooMyWeb
 

Simplu, direct şi eficient

 

Operaţii cu numere naturale

ADUNAREA

Adunarea este suma a doua sau mai multe numere naturale.
45+36+15+20=116
termeni suma
Proprietatile adunarii
1. Comutativa : a+b=b+a
2. Asociativa : (a+b)+c=a+(b+c)
3. Element neutru: a+0=a 0 este element neutru pentru operatia de adunare.
Folosind proprietatile adunarii putem efectua mai repede calculele.
Matematicianul Gauss a folosit proprietatile adunarii pentru a calcula o suma de numere naturale consecutive.

Exemplu:
1. 1+2+3+4+……….96+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+……(50+51)=101+101+101+…………101=101 50=
=5050
2.
1+2+3+4+……….96+97+98+99=(1+99)+(2+98)+(3+97)+(4+96)++……….(49+51)+50=100+100+100+100+…….100+50=
=100 49+50=4900+50=4950
Observam ca in aceasta a doua suma avem un numar impar de termeni, deci avem un termen in mijloc care ramane singur.

Observatie.

1. Numarul de termeni ai unei sume este:u-p+1 unde u este ultimul termen ,iar p este primul termen.
2. Daca un termen al unei sume are n cifre, iar celalaltare cel mult n cifre, suma lor are cel putin n cifre si cel mult n+1 cifre.

Exercitii.

1. Sa se calculeze sumele:
a) 1+2+3+4+………+58
b) 4+5+6+7+………+63
c) 1+2+3+4+……….+59
d) 4+5+6+7+……….+64
2. Sa se scrie numerele naturale de la 1 la 10 ca suma de doi termeni naturali.
3. Sa se calculeze:
a) 1+23+399
b) 55+76+445
c) 1278+374+26+22
d) 12+13+14+15+16+17+18
e) 31+32+33+34
f) 5+10+15+20+25+30+35+40

SCADEREA


Scaderea este diferenta a doua numere naturale.
24-16=16
descazut scazator rest sau diferenta
Scaderea este operatia inverse adunarii.
Observatii.
1. Intr-o scadere in care scazatorul este mai mare decat descazutul, rezultatul nu este un numar natural.
47-76=
2. Pentru a scadea o suma dintr-un numar, scadem fiecare termen al sumei din numarul dat.
40-(3+14+5)=40-3-14-5=37-14-5=23-5=18
a-(b+c+d)=a-b-c-d
3. Ordinul de marime al diferentei este cel mult egal cu ordinul de marime al descazutului.

Exercitii.

1. Aflati diferenta dintre cel mai mare numar de 4 cifre sic el mai mic numar de 4 cifre ce nu au cifre identice.
2. Aflati diferenta, respectiv suma dintre cel mai mic numar de 4 cifre format din cifre identice si cel mai mare numar de 3 cifre format din cifre identice.

3.Cate numere mai mici decat 100 apartin ambelor siruri?
a) 8;12;16;20;24;28;32………si 5;10;15;20………
b) 3;6;9;12;15;18;……………si 5;10;15;20………….
4.Un numar format din 3 cifre are suma cifrelor 16, iar suma primelor doua cifre este 13.Care este numarul? ( Cate solutii putem avea? )

Adunarea si scaderea sunt operatii de ordinul I. Ele se efectueaza in ordinea succesiunii lor in exercitiu.
Daca avem paranteze se efectueaza mai intai parantezele.


INMULTIREA (produsul)
Inmultirea inseamna adunarea repetata a aceluiasi numar.
15+15+15+15+15+15=15 6=15 6=90
15 * 6 = 90
factori produs
Proprietatile inmultirii.
1.Comutativa a b=b a
2.Asociativa (a b) c=a (b c)
3.Element neutru a 1=1 a=a
4 Distributiva fata de adunare si scadere
a (b+c)=a b+a c
a (b-c)=a b-a c
(b+c) a=b a+c a
(b-c) a=b a-c a
FACTOR COMUN
a b+a c=a (b+c)
a b-a c=a (b-c)
Deoarece factorul a apare in toate produsele spunem ca a este factor comun.Egalitatile de mai sus exprima scoaterea factorului comun.

Observatii
1.Egalitatea si inegalitatea numerelor naturale se pastreaza daca se inmultesc ambii membrii cu acelesi numar natural, diferit de 0.
2.Inmultirea este o operatie de ordinul II, se efectueaza inaintea adunarii si scderii.

Exercitii.
1. Scrieti toate numerele naturale de la 1 la 20 ca produs de 2 factori.
2. 11 11=11 (10+1)=11 10+11=110+11=121. Dupa acest model calculati inmultirea cu 11 a numerelor dela 12 la 30.



IMPARTIREA(IMPARTIREA CU REST)

Teorema impartirii cu rest d=i c+r cu rn
iii) (am)n=amn
iv) (a•b)n=an•bn

Patrate perfecte.
Puterea a 2-a a unui numar natural se mai numeste si patratul acelui numar. Exemplu: 62 se citeste”6 la puterea a doua” sau “ 6 la patrat”.
Numarul natural care este patratul altui numar natural se numeste patrat perfect.Exemple: 4,9,16,25,36 etc.
a2k este patrat perfect, oricare ar fi a si k numere naturale, .
Patratul oricarui numar natural se poate termina cu una din cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nu intotdeauna numerele care se termina in aceste cifre sunt patrate perfecte. De exemplu: 11; 14; 39 etc.
Un numar care se termina in una din cifrele 2, 3, 7, sau 8 nu este patrat perfect.
Pentru a arata ca un numar nu este patrat perfect mai putem arata ca el este cuprins intre doua patrate de numere consecutive. De exemplu: 75 nu este patrat perfect, pentru ca 82=64<75<81=92 Compararea puterilor. 1.Puteri cu aceeasi baza. Fie a, m, n numere naturale nenule, a≠1. Daca m<54 (25<625) 2.Puteri cu acelasi exponent. Fie a,b,n, numere naturale nenule. Daca a<33 3.Puteri cu baze diferite si exponenti diferiti. Pentru a compara doua puteri cu baze diferite si exponenti diferiti, se aduc puterile, daca se poate, fie la aceeasi baza, fie la acelasi exponent. Exemplu: 255>522 pentru ca 255=25•11=(25)11=3211 si 522=52•11=(52)11=2511. Dar 3211>2511

Exercitii.

1. Sa se arate ca:
a) 2+2+22+23+23+24=25
b) 3+3+3+32+33+33=34
2. Sa se scrie in ordine crescatoare numerele: 45; 43; 47; 49; 42; 40.
3. Sa se scrie folosind o singura putere numarul:
a) 43•25•82•164

 
Name
Email
Comment
Or visit this link or this one