ADUNAREA

Adunarea este suma a doua sau mai multe numere naturale.
45+36+15+20=116
termeni suma
Proprietatile adunarii
1. Comutativa : a+b=b+a
2. Asociativa : (a+b)+c=a+(b+c)
3. Element neutru: a+0=a 0 este element neutru pentru operatia de adunare.
Folosind proprietatile adunarii putem efectua mai repede calculele.
Matematicianul Gauss a folosit proprietatile adunarii pentru a calcula o suma de numere naturale consecutive.

Exemplu:
1. 1+2+3+4+……….96+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+……(50+51)=101+101+101+…………101=101 50=
=5050
2.
1+2+3+4+……….96+97+98+99=(1+99)+(2+98)+(3+97)+(4+96)++……….(49+51)+50=100+100+100+100+…….100+50=
=100 49+50=4900+50=4950
Observam ca in aceasta a doua suma avem un numar impar de termeni, deci avem un termen in mijloc care ramane singur.

Observatie.

1. Numarul de termeni ai unei sume este:u-p+1 unde u este ultimul termen ,iar p este primul termen.
2. Daca un termen al unei sume are n cifre, iar celalaltare cel mult n cifre, suma lor are cel putin n cifre si cel mult n+1 cifre.

Exercitii.

1. Sa se calculeze sumele:
a) 1+2+3+4+………+58
b) 4+5+6+7+………+63
c) 1+2+3+4+……….+59
d) 4+5+6+7+……….+64
2. Sa se scrie numerele naturale de la 1 la 10 ca suma de doi termeni naturali.
3. Sa se calculeze:
a) 1+23+399
b) 55+76+445
c) 1278+374+26+22
d) 12+13+14+15+16+17+18
e) 31+32+33+34
f) 5+10+15+20+25+30+35+40

SCADEREA


Scaderea este diferenta a doua numere naturale.
24-16=16
descazut scazator rest sau diferenta
Scaderea este operatia inverse adunarii.
Observatii.
1. Intr-o scadere in care scazatorul este mai mare decat descazutul, rezultatul nu este un numar natural.
47-76=
2. Pentru a scadea o suma dintr-un numar, scadem fiecare termen al sumei din numarul dat.
40-(3+14+5)=40-3-14-5=37-14-5=23-5=18
a-(b+c+d)=a-b-c-d
3. Ordinul de marime al diferentei este cel mult egal cu ordinul de marime al descazutului.

Exercitii.

1. Aflati diferenta dintre cel mai mare numar de 4 cifre sic el mai mic numar de 4 cifre ce nu au cifre identice.
2. Aflati diferenta, respectiv suma dintre cel mai mic numar de 4 cifre format din cifre identice si cel mai mare numar de 3 cifre format din cifre identice.

3.Cate numere mai mici decat 100 apartin ambelor siruri?
a) 8;12;16;20;24;28;32………si 5;10;15;20………
b) 3;6;9;12;15;18;……………si 5;10;15;20………….
4.Un numar format din 3 cifre are suma cifrelor 16, iar suma primelor doua cifre este 13.Care este numarul? ( Cate solutii putem avea? )

Adunarea si scaderea sunt operatii de ordinul I. Ele se efectueaza in ordinea succesiunii lor in exercitiu.
Daca avem paranteze se efectueaza mai intai parantezele.


INMULTIREA (produsul)
Inmultirea inseamna adunarea repetata a aceluiasi numar.
15+15+15+15+15+15=15 6=15 6=90
15 * 6 = 90
factori produs
Proprietatile inmultirii.
1.Comutativa a b=b a
2.Asociativa (a b) c=a (b c)
3.Element neutru a 1=1 a=a
4 Distributiva fata de adunare si scadere
a (b+c)=a b+a c
a (b-c)=a b-a c
(b+c) a=b a+c a
(b-c) a=b a-c a
FACTOR COMUN
a b+a c=a (b+c)
a b-a c=a (b-c)
Deoarece factorul a apare in toate produsele spunem ca a este factor comun.Egalitatile de mai sus exprima scoaterea factorului comun.

Observatii
1.Egalitatea si inegalitatea numerelor naturale se pastreaza daca se inmultesc ambii membrii cu acelesi numar natural, diferit de 0.
2.Inmultirea este o operatie de ordinul II, se efectueaza inaintea adunarii si scderii.

Exercitii.
1. Scrieti toate numerele naturale de la 1 la 20 ca produs de 2 factori.
2. 11 11=11 (10+1)=11 10+11=110+11=121. Dupa acest model calculati inmultirea cu 11 a numerelor dela 12 la 30.



IMPARTIREA(IMPARTIREA CU REST)

Teorema impartirii cu rest d=i c+r cu r - d este deimpartitul
- i este impartitorul
- c este catul
- r este restul
Observatii
1. Impartirea la 0 nu are sens.
2. La impartirea unui numar natural la 2 restul poate fi 0 sau 1. Daca n=2k, restul este 0, iar daca n=2k+1 restul este 1, unde k este catul.
3. La impartirea unui numar natural la 3, restul poate fi 0, 1, 2. Daca n=3k restul este 0, daca n=3k+1 restul este 1 si daca n=3k+2 restul este 2, iar k este catul.
4. Daca restul unei impartiri este 0 atunci impartirea este exacta. In acest caz avem
Daca numerele naturale a si b se impart exact la numarul natural c ( c diferit de 0) atunci avem:
5. Impartirea ca si inmultirea este o operatie de ordinul II.
6. Intr- un exercitiu fara paranteze se efectueaza intai operatiile de ordinul II.
7. Daca intr-un exercitiu avem numai operatii de ordinul II si nu avem paranteze, atunci operatiile se efectueaza in ordinea in care sunt scrise.
8. Egalitatea si inegalitatea numerelor naturale se pastreaza daca se impart exact mambrii acestora cu acelasi numar natural diferit de 0.


Exercitii
1. Sa se afle toate numerele naturale care impartite la 6 dau catul 12.
2. Suma a doua numere naturale este 23. Impartind numarul mai mare la cel mai mic obtinem catul 2 si restul 5. Sa se afle numerele.
3. Diferenta a doua numere este 14. Impartind numarul mai mare la cel mai mic obtinem catul 3 si restul 4. Sa se afle numerele.
4. Suma a trei numere este 152; primul numar este cu 15 mai mare decat triplul celui de al doilea, iar al treilea este cu 8 mai mic decat al doilea.Aflati numerele.
5. Suma a doua numere naturale este 767.Daca impartim numarul mai mare la triplul numarului mai mic, obtinem catul 2 si restul 11. Aflati numerele.
6. Cate numere naturale cuprinse intre 100 si 1000 se impart exact la 8? Cate dau restul 5?
7. Restul impartirii unui numar de doua cifre la unul de o cifra este 7.Care este cel mai mare deimpartit posibil? Dar cel mai mic?
8. O suma de 5 numere impare este un numar par sau impar?
9. Suma a trei numere naturale este 1082. Daca din fiecare se scade acelasi numar se obtin numerele 467, 276 si 315. Aflati cele trei numere.
10. De ce forma sunt numerele care impartite la 8 dau restul 7?
11. Suma a doua numere naturale este 755, iar diferenta lor este 101. Aflati cele doua numere.


RIDICAREA LA PUTERE (EXPONENT NUMAR NATURAL)

Ridicarea la putere este o inmultire repetata.
Exemplu: 3•3•3•3•3•3=36 ; 3 se numeste baza iar 6 este exponent.
Daca avem in general baza a si exponentul n, puterea a n-a a numarului a este produsul a n factori egali cu numarul a.
a•a•a•……..•a=an cu a si n numere naturale
Observatii
1. a1=a
2. a0=1
3. 0n=0
4. 1n=1
5.Exponentul arata de cate ori se repeta baza in produsul prin care se calculeaza puterea.
6.Ridicarea la putere este o operatie de ordinul al treilea, adica in lipsa parantezelor, se efectueaza inaintea celorlalte operatii.
7. Puterea a 2-a a unui numar natural de m cifre are 2m-1 cifre sau 2m cifre.
8. Orice putere a unui numar natural care are ultima cifra 0, 1, 5 sau 6 va avea ultima cifra tot 0, 1, 5, 6. Vom scrie de exemplu u(466)=6. Prin u(n) se intelege ultima cifra a numarului n
9.. Orice putere a unui numar care are ultima cifra 4, are ultima cifra 6 daca exponentul este par si 4 daca exponentul este impar
Exercitiu.
1.Oricare ar fi numarul natural k, avem:
24kare ultima cifra 6;
24k+1are ultima cifra 2;
24k+2are ultima cifra 4;
24k+3are ultima cifra 8; cu k 0
2.Sa se stabileasca ultima cifra a puterilor numerelor 3, 7, 8, 9.

Reguli de calcul cu puteri.
i) am•an=am+n
ii) am:an=am-n cu m>n
iii) (am)n=amn
iv) (a•b)n=an•bn

Patrate perfecte.
Puterea a 2-a a unui numar natural se mai numeste si patratul acelui numar. Exemplu: 62 se citeste”6 la puterea a doua” sau “ 6 la patrat”.
Numarul natural care este patratul altui numar natural se numeste patrat perfect.Exemple: 4,9,16,25,36 etc.
a2k este patrat perfect, oricare ar fi a si k numere naturale, .
Patratul oricarui numar natural se poate termina cu una din cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nu intotdeauna numerele care se termina in aceste cifre sunt patrate perfecte. De exemplu: 11; 14; 39 etc.
Un numar care se termina in una din cifrele 2, 3, 7, sau 8 nu este patrat perfect.
Pentru a arata ca un numar nu este patrat perfect mai putem arata ca el este cuprins intre doua patrate de numere consecutive. De exemplu: 75 nu este patrat perfect, pentru ca 82=64<75<81=92

Compararea puterilor.

1.Puteri cu aceeasi baza.

Fie a, m, n numere naturale nenule, a≠1.
Daca m Exemplu: 52<54 (25<625)

2.Puteri cu acelasi exponent.
Fie a,b,n, numere naturale nenule. Daca a Exemplu: 23<33
3.Puteri cu baze diferite si exponenti diferiti.
Pentru a compara doua puteri cu baze diferite si exponenti diferiti, se aduc puterile, daca se poate, fie la aceeasi baza, fie la acelasi exponent.
Exemplu: 255>522 pentru ca 255=25•11=(25)11=3211 si 522=52•11=(52)11=2511. Dar 3211>2511

Exercitii.

1. Sa se arate ca:
a) 2+2+22+23+23+24=25
b) 3+3+3+32+33+33=34
2. Sa se scrie in ordine crescatoare numerele: 45; 43; 47; 49; 42; 40.
3. Sa se scrie folosind o singura putere numarul:
a) 43•25•82•164